단일표본(one-sample t-test)

단일표본

개요

• 집단 내 평균과 특정 값의 차이를 비교하는 방법
• 예시: 한국 고등학생 키 평균이 175cm 인지 궁금함

가설

• 귀무가설 $H_0$ : $\mu ={\mu }_0$ -> 어느집단의 평균은 ${\mu }_0$이다. (무죄추정)
• 대립가설 $H_1$ : (유죄라고 증명해야함)
  • $\mu >{\mu }_0$
  • $\mu <{\mu }_0$
  • $\mu \ne {\mu }_0$ : 위의 두개를 모두 포함함 (${\mu }_0$보다 크거나 ${\mu }_0$보다 작다)
• 유죄가 우연히 나올확률이 0.05보다 작으면 $H_1$ 채택

배경지식

• 정규성 가정
  • 단일표본 t-검정을 하려면, 데이터가 정규분포 모양을 그리고 있어야함
    • 데이터가 너무 적거나, 한쪽으로 치우쳐 있다면 t-검정 결과는 믿을 수 없음 -> 비모수 검정을 사용해야함

단일표본 분석

• t-분포: 정규분포를 따르는 모집단에서 뽑은 샘플의 분포를 설명하는 그래프
• t-값
  • 아래와 같은 t-값이라는 점수를 계산$$t=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$$
  • $\overline{x}$: 표본 평균
  • ${\mu }_0$: 내가 비교하고 싶은 기준값 (175cm)
  • $s/\sqrt{n}$: 표준오차 (데이터의 흩어진 정도)
  • 표본평균과 기준값의 차이(측정한 오차)와 표준오차를 비교
    • $t=\frac{\text{차이 (Signal)}}{\text{불확실성 (Noise)}}$ -> 불확실성에 비해 차이가 클때, 우연이 아니라 진짜 차이가 있다고 생각
• t-값과 p-value
  • t-분포라는 그래프의 x축에 찍히는 위치에서 꼬리 면적을 구하면 됨
  • 자유도: t-분포의 모양을 결정하는 요소
    • 샘플개수 n 에 따라 n-1을 자유도로 사용
    • 샘플이 적으면 그래프가 옆으로 퍼지고(불확실성 증가), 많으면 뾰족해지기 때문
      
  • 양측검정 ($H_1:\mu \ne {\mu }_0$): "다르기만 하면 돼!"
    • 양쪽 꼬리를 더해야함
    • -> 우연일 확률이 더 높아짐, 더 큰 도메인을 커버기 때문
  • 단측검정 ($H_1:\mu >{\mu }_0$): "무조건 커야 해!" (혹은 반대)
    • 한쪽 꼬리만 더하면됨
• 단일표본 분석을 할때는, 위에 설명한 것과 같이 표본평균, s, n 을 계산하여 대입하면 됨