추정(estimation)

점추정

• 모집단 평균인 모평균 $\mu$에 대한 추정
• 추정량: 표본평균 $\bar{X}$들의 평균은 계산하여 평균 $\mu$로 추정.
  • $E(\bar{X})=\mu$
• 추정량의 표준오차(standard error)
  • $S.E.(\bar{X})=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\approx \frac{s}{\sqrt{n}}$
• $\sigma$를 알 수 없을때, 표본의 표준편차($s$)를 사용
  • $s=\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2}{n-1}}$
  • $분산=\frac{\mathrm{\Sigma }(데이터-평균{)}^2}{데이터수}$ 와 다르게, n-1을 나눔
    • 표본들은 애초에 자기들끼리 모여있을 가능성이 높음
      • -> 분산이 작음
    • 그렇기 때문에 n-1을 나누어주어 표본표준편차를 좀 더 크게 보정해주는 것

구간추정

• 추정량 분포를 사용하여 표본으로부터 모수가 포함될 것이라 예상되는 구간추정
• 신뢰구간: 구간추정에서 제시되는 구간
  • (하한값, 상한값)의 형태로 구성
    • 특정값이 $\alpha \mathrm{\%}$ 오류 확률로 하한값~상한값의 구간안에 있을 것이다!
  • $신뢰구간=점추정량\pm 오차한계$
    • $오차한계=신뢰계수\times 표준오차$
  • 신뢰계수 구하기
    • $\sigma$ 를 알때, 표준정규분포를 사용함
      • 95%: 1.96
      • 99%: 2.58
    • $\sigma$ 를 몰라서, $s$ 를 쓸때, t-분포를 사용
      • 표본의 크기(n)에 따라 숫자가 바뀜
      • 구간이 세밀해지지 않고 z값보다 커짐
• 최종수식
  • 모표준편차($\sigma$)를 알고 있을 때:
    • ** $[\overline{X}-Z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\overline{X}+Z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}]$
  • **모표준편차($\sigma$)를 모르고 표본표준편차($s$)를 쓸 때:
    • ** $[\overline{X}-t_{\alpha /2,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha /2,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}}]$
• 예시
  • 어떤 시험 점수 100개를 뽑았는데 평균($\overline{X}$)이 80점, 표준편차($s$)가 10점이었다고 가정
  • 95% 신뢰구간(대략 신뢰계수 2라고 가정)을 구한다면?
    1. 표준오차: $10/\sqrt{100}=1$
    2. 오차한계: $2(\text{신뢰계수})\times 1(\text{표준오차})=2$
    3. 신뢰구간: $80\pm 2\to [78,82]$
  • 결과적으로 "진짜 전체 평균은 78점에서 82점 사이에 있을 확률이 95%다" 라고 주장가능