이산확률분포(discrete probability distribution)

확률분포
- 확률변수(수치화된 사건)에 대해 확률을 내뱉는 함수
이산확률분포
- 확률변수의 도메인이 이산적인 확률분포
이산확률분포의 종류를 간단하게 살펴봄
Goal
- 정확한 수식의 유도보다는 배경지식 및 어떤 상황에서 어떤 분포를 써야하는지 결정하기 위해 정리

베르누이 시행

가장 간단한 형태의 이산확률분포
성공(S)과 실패(F)에 대응하는 {1, 0} 두가지의 정의역을 가짐
각 시행이 독립이라는 전제가 필요하고, 아래와 같이 확률로 나타낼 수 있음
- $P (S) = p, P (F) = 1 - p$
이산확률 분포는 아래와 같이 정의가능 ( $x$ 는 성공횟수)
- $f (x) = p^{x} (1 - p)^{1 - x}, x = 0, 1$

이항분포

베르누이 시행을 N번 반복시에는 아래와 같음 ( $n$ 은 시행횟수, $x$ 는 성공 횟수)
- $f (x) =_{n} C_{x} p^{x} (1 - p)^{n - x}, x = 0, 1, . . ., n$
- $X \sim B i n (n, p)$
n이 30보다 커지면 이항계수의 계산량이 급격히 증가함
- n이 30이하이면 이항분포표를 이용
- n이 30초과이면 정규분포근사를 사용
판수(n)을 고정해놓고 성공횟수를 예측

음이항분포

베르누이 시행을 x번 반복시 r번 성공할 확률
- x번째를 마지막 성공으로 박아두기 때문에, x-1번째에는 r-1번의 성공을 해야함
  - $_{x - 1} C_{r - 1}$ : x-1번째에 r-1번 성공을 하는 조합
  - $p^{r}$ : r번 성공할 확률
  - $(1 - p)^{x - r}$ : x-r번 실패할 확률
- 음이항분포의 확률함수(확률질량함수)는 아래와 같음
  - $f (x) =_{x - 1} C_{r - 1} p^{r} (1 - p)^{x - r}, x = r, r + 1, . . .$
  - $X \sim N B (p, r)$
성공횟수(r)을 고정해놓고 판수를 예측

기하분포

음이항분포의 특수한 버전
- 처음으로 성공할때까지 얼마나 걸리는지 예측하는 확률함수
r = 1 -> 첫 성공이 나는 순간 게임 종료
- 음이항분포에 대입 (r=1)
$f (x) = p (1 - p)^{x - 1}, x = 1, 2, . . .$
$X \sim N B (p, 1)$

초기하분포

비복원 추출에 대한 이항분포, 주머니에서 공을 뽑고 다시 넣지 않음
- 뽑을때마다 상황이 변함
경우의수로 확률함수를 구성시킴
- 전체 N개중에 당첨(성공) D개가 존재할 경우, 또한 n번 시행할 수 있는 경우
- 분모: 전체 N개중에 n개를 뽑는 경우의수 $_{N} C_{n}$
- 분자: D개중에 내가 성공 공을 x뽑을 경우의수 $\times$ N-D개중에 실패공을 n-x개 뽑을 확률 $_{D} C_{x} \times_{N - D} C_{n - x}$
- $f (x) = \frac{_{D} C_{x} \times_{N - D} C_{n - x}}{_{N} C_{n}}, m a x (0, n - (N - D)) \leq x \leq m i n (n, D)$
  - 도메인
    - 당첨공을 D개 이상뽑을 수는 없음 ( $m i n (n, D)$ )
    - 시행횟수가, 전체 - 당첨보다 크다면, 적어도 $n - (N - D)$ 보다는 많이 당첨을 뽑아야함

포아송분포

드물게 일어나는 사건의 분포
- 정해진 시간이나 공간 안에서 발생하는 사건의 횟수
  - 1시간동안 콜센터에 걸려오는 전화수
  - 하루동안 웹사이트에서 발생하는 오류 횟수
- 이항분포에서 시행 횟수가 무한히 많아지며 ( $n \to \infty$ ), 확률이 엄청나게 작을때 ( $p \to 0$ ) 의 분포
- $p (x, λ) = \frac{λ^{x} e^{- λ}}{x!}, x = 0, 1, 2, . . .$
  - 이항분포: 오늘 하루에 100만명(n)이 각각 에러를 낼 확률(p) -> 계산 불가
  - 포아송 방식: 평균적으로 하루에 에러가 5번 정도나던데( $λ$ ), 오늘 3번 날 확률은? -> 간단!
- $λ$ : 평균횟수, $x$ : 우리가 궁금한 실제 발생 횟수