이원배치 분산분석(Two-way ANOVA)

• 독립변수가 두개이며, 내부 집단이 여러개일때 해당 두 변수가 종속변수에 미치는 영향을 동시에 분석하는 방법
• 성별과 비타민 종류가 피로도에 미치는 영향 분석
  • 성별 -> 2개집단
  • 비타민 종류 -> A,B,C 비타민 3개 집단
• 이원배치 분산분석의 세가지 답변
  • 주효과 A (Main Effect A): 비타민 종류와 상관없이, '성별'에 따라 피로도 차이가 있는가?
  • 주효과 B (Main Effect B): 성별과 상관없이, '비타민 종류'에 따라 피로도 차이가 있는가?
  • 상호작용 효과 (Interaction Effect): 성별에 따라 효과적인 비타민이 서로 다른가? (이게 이 분석의 핵심!)
• 상호작용 효과
  • 예상치 못한 변수내 집단간의 시너지나 방해가 존재할 수 있음
    • "비타민 A가 최고다!"라고 결론을 내리려 했는데, 분석해 보니 **"남자는 비타민 A가 잘 듣는데, 여자는 비타민 B가 훨씬 잘 듣더라"**는 결과가 나올 수 있음
  • 상호작용 있음: 두 요인이 서로 만나서 특이한 시너지를 내거나 방해를 함 (그래프가 X자로 꼬임).
  • 상호작용 없음: 성별에 상관없이 비타민의 효과가 일정함 (그래프가 평행함).

이원배치 분산분석

변동의 분할

• 이원배치: 더 잘게 쪼갬

• $S{S}_A$ / $S{S}_B$: 요인 A와 B 각각의 영향력 (주효과)
  • $S{S}_A=\sum n_A({\overline{X}}_A-{\overline{X}}_G{)}^2$
  • $S{S}_B=\sum n_B({\overline{X}}_B-{\overline{X}}_G{)}^2$
• $S{S}_{A\times B}$: 두 요인이 찰떡궁합(혹은 상극)이라 생기는 영향력 (상호작용)
  • 실제 결과 - (A효과 + B효과)
  • 모델의 생각: 비타민 A가 건강을 +5점 올리고, 비타민 B가 +3점 올린다면, 둘 다 먹으면 **+8점
  • 실제: +20점이 나오거나, 혹은 독성이 생겨서 -5점
• $S{S}_{error}$: 아무리 설명하려 해도 안 되는 우연한 차이 (잡음)
  • $S{S}_{error}=\text{전체 변동}-(\text{A 효과}+\text{B 효과}+\text{AB 상호작용 효과})$
  • 전부 설명하고 남은 찌꺼기 (컨디션, 유전자, 측정 오차 ...)
  • 에러가 너무 크면, 사람들 개성이 너무 강해서 알 수 없는 것 -> 유의하지 않다고 결론

자유도로 나누어 정규화

• $M{S}_A=\frac{S{S}_A}{d{f}_A}$
• $M{S}_B=\frac{S{S}_B}{d{f}_B}$
• $M{S}_{AB}=\frac{S{S}_{AB}}{d{f}_{AB}}$
• $M{S}_{Error}=\frac{S{S}_{Error}}{d{f}_{Error}}$

최종 F-값

Appendix

상호작용 도표

• 요인 A (X축): 비타민 A의 양 (저용량 / 고용량)
• 요인 B (선): 비타민 B의 복용 여부 (안 먹음 / 먹음)
• 결과값 (Y축): 건강 지표 점수 (0점 ~ 100점)
  
• 점: 각 조합의 평균값
  • 비타민 A 저용량 & 비타민 B 안먹음
  • 비타민 A 고용량 & 비타민 B 먹음
• 선: 같은 조건의 요인 B끼리 선을 이음
• 평행선 일시, 서로 간섭 x